Ако је збир квадрата два броја 80, а квадрат разлике између два броја је 36, шта је онда резултат два броја?


Одговор 1:

Одговор је 22.

Нека су два броја к, и и.

Наведени услови су:

  • Збир квадрата два броја је 80.к² + и² = 80Квадрат разлике између два броја је 36. (ки) ² = 36к²-2ки + и² = 36

Узмите други услов и изнесите вредност за к².

  • к²-2ки + 2ки + и²-и² = 36 + 2ки-и²к² = -и² + 2ки + 36

Замените к² у првом стању добивеном вредношћу.

  • к² + и² = 80 (-и² + 2ки + 36) + и² = 80и²-и² + 2ки + 36 = 802ки + 36–36 = 80–362ки ÷ 2 = 44 ÷ 2ки = 22

Дакле, продукт два броја (к, и) је 22.


Одговор 2:

Први услов:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Други услов:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Из другог услова:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Замена првог услова:

802ab=3680-2ab=36

, реорганизовање

2ab=8036=442ab=80-36=44

Тако

2ab=442ab=44

и

ab=22ab=22

.

Одговор: производ је 22.

У случају да желите решити комплетан систем: разлика је

36=6\sqrt{36}=6

, а производ је

2222

, па за

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Дакле, ако добијемо решења за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

можемо да решимо проблем.

Решење за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

је

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Тако

a=31+3a=\sqrt{31}+3

и

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Лако је доказати да ова два броја испуњавају услове питања и одговора.


Одговор 3:

Први услов:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Замена првог услова:

319=2231–9=22

, реорганизовање

x2+y2=80x^2+y^2=80

Тако

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

и

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

У случају да желите решити комплетан систем: разлика је

36=6\sqrt{36}=6

, а производ је

2222

, па за

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Дакле, ако добијемо решења за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

можемо да решимо проблем.

Решење за

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

је

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Тако

a=31+3a=\sqrt{31}+3

и

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Лако је доказати да ова два броја испуњавају услове питања и одговора.